Преобразование графиков

Y=f (x +l)

Чтобы построить график функции y=f(x+l), нужно сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси x на l единиц влево, если l>0 (вправо, если l<0).

y=f(x) +m

Чтобы построить график функции y=f(x) +m, надо сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси y на m единиц вверх, если m>0 ( вниз, если m<0).

Y=f(x + l) + m

1 СПОСОБ.

1)Построим график функции y=f(x).

2) Сдвинув график функции y=f(x) вдоль оси x на l единиц влево, если l>0 (вправо, если l<0), получим график функции

 y=f(x +l).

3) Сдвинув график функции y=f(x +l) вдоль оси y на m единиц вверх, если m>0 ( вниз, если m<0), получим график функции y=f(x +l) +m.

2 СПОСОБ.

Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-l;m)(пунктирные прямые x=-l, y=m). Привяжем к новой системе координат график функции y=f(x))

Квадратичная функция.

Графиком квадратичной функции является парабола, ветви направлены вверх, если a>0, и вниз, если a<0.

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЕ ПАРАБОЛЫ.

1) Найдем координаты вершины параболы (x ;y ).            х = - b/2a,

y =ax +bx +c.

Проведем ось параболы .

2) Отметим на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы ( часто берут х=0), найдем значения функции в этих точках;

Построим их на координатной плоскости.

3) Через полученные три точки проводим параболу ( иногда берут больше точек).

Отражение.

1.        ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ  Y= - f (x)

Для построения графика функции Y= - f (x) следует построить график функции  y= f (x) и отобразить его относительно оси абсцисс.

2.        ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ     Y = f ( - x).

Для построения графика функции  Y = f ( - x) следует построить график функции  y= f (x) и отобразить его относительно оси ординат.

Метод подстановки.

1)             ВЫРАЗИТЬ ИЗ КАКОГО-НИБУДЬ УРАВНЕНИЯ

     ОДНУ ПЕРЕМЕННУЮ ЧЕРЕЗ ДРУГУЮ.

2)             ПОДСТАВИТЬ В ДРУГОЕ УРАВНЕНИЕ СИСТЕМЫ ВМЕСТО ЭТОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ВЫРАЖЕНИЕ.

3)             РЕШИТЬ ПОЛУЧИВШЕЕСЯ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

4)             НАХОДЯТ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ВТОРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

5)             ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ПАР ЗНАЧЕНИЙ (Х;У).

Метод введения новой переменной

1) ВВОДИМ НОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ (ИНОГДА

     ОДНУ).

2) РЕШАЕМ УРАВНЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО НОВЫХ

    ПЕРЕМЕННЫХ.

3) ВОЗВРАЩАЕМСЯ К ИСХОДНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ

     И НАХОДИМ ИХ ЗНАЧЕНИЯ.

4) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ПАР ЗНАЧЕНИЙ (Х;У).

Метод алгебраического сложения

1)          УМНОЖАЕМ ПОЧЛЕННО УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ, ПОДБИРАЯ МНОЖИТЕЛИ ТАК, ЧТОБЫ КОЭФФИЦИЕНТЫПРИ ОДНОЙ ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ СТАЛИ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ ЧИСЛАМИ.

2)          СКЛАДЫВАЕМ ПОЧЛЕННО ЛЕВЫЕ И ПРАВЫЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ.

3)          РЕШАЕМ ПОЛУЧИВШЕЕСЯ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

4)          НАХОДИМ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ВТОРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

5)          ЗАПИСЫВАЕМ ОТВЕТ В ВИДЕ ПАР ЗНАЧЕНИЙ (Х;У).

           Дробно-рациональные уравнения

1) НАХОДИМ ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ.

2) УМНОЖАЕМ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ НА

    ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ.

3) РЕШАЕМ ПОЛУЧИВШЕЕСЯ УРАВНЕНИЕ.

4) ИСКЛЮЧАЕМ ИЗ ЕГО КОРНЕЙ ТЕ, КОТОРЫЕ ОБРАЩАЮТ В НУЛЬ ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ.

                       Графическое решение уравнений

1)        Рассмотрим две функции.

2)        Построим в одной системе координат графики этих функций.

3)        Найдем точки пересечения графиков.

4)        Абсциссы точек пересечения – это и есть корни уравнения.

Графическое решение систем уравнений                     

1)    Рассмотрим две функции.

2)        Построим в одной системе координат графики этих функций.

3)        Найдем точки пересечения этих графиков.

4)        Координаты этих точек и будут решениями заданной системы уравнений.

Решение линейных уравнений

1)        Раскрыть скобки.

2)        В левую часть уравнения собрать переменные, в правую числа ( при переносе из одной части уравнения в другую знак меняется на противоположный).

3)         Приводим подобные слагаемые.

4)  Находим неизвестный множитель (произведение делим на известный множитель).

Решение линейных уравнений.

1.     Возводим обе части уравнения в квадрат. 
2.        Решаем получившееся рациональное уравнение.
3.        Делаем проверку, убираем возможные посторонние корни.      

Свойства функций.

1)                   Область определения D (f).

2)                   Четность и нечетность

3)                   Монотонность ( промежутки возрастания, . убывания).

4)                   Y- наименьший, Y- наибольший

5)                   Ограниченность функции.

6)                    Непрерывность функции.

7)                   Область значения E (f)/

8)                   Выпуклость.

9)                   Асимптоты.

1)Если у функции существует y-наим., то она ограничена снизу.

2)Если у функции существует у-наиб., то она ограничена сверху.

3)Если функция не ограничена снизу, то у-наим. не существует.

4)если функция не ограничена сверху, то у-наиб. не существует